7 hằng đẳng thức đáng nhớ, hệ quả và các dạng toán
7 Hằng Đẳng Thức Khó Quên, Hệ Quả Của Chúng Và Các Dạng Toán Học Sinh Đã Học Trong Toán 8, Đại Số. Đây là kiến thức khá quan trọng trong chương trình, liên quan đến nhiều dạng giải phương trình khác. Để biết thêm những kiến thức cần nhớ, mời các bạn chia sẻ bài viết dưới đây!
I. LÝ THUYẾT VỀ 7 ĐIỂM NHẬN THỨC
1. Thế nào là bảy hằng đẳng thức đáng nhớ?
Bạn đang xem: 7 Hằng Đẳng Thức, Hệ Quả Đáng Nhớ và Các Dạng Toán
Bảy hằng đẳng thức khó quên là những phương trình cơ bản nhất mà mọi sinh viên toán học nên nắm vững. Đẳng thức được chứng minh bằng cách nhân đa thức với đa thức.Những hằng đẳng thức này nằm trong tập các đẳng thức cơ bản của đẳng thức đại số, trong số nhiều hằng đẳng thức khác.
Các hằng đẳng thức này thường được sử dụng trong các bài toán liên quan đến giải phương trình, nhân chia đa thức, biến đổi biểu thức ở cấp THCS và THPT. Học thuộc lòng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ giúp giải nhanh các bài toán nhân tử hóa đa thức.
2. Bảy hằng số và hệ quả đáng nhớ của bình đẳng
Một. Bảy hằng đẳng thức khó quên:
- Bình phương của tổng: Bình phương của một tổng bằng bình phương của số thứ nhất cộng hai lần tích của số thứ nhất với số thứ hai cộng bình phương của số thứ hai
- Bình phương của sự khác biệt:
Bình phương của hiệu bằng bình phương của số thứ nhất trừ hai lần tích của số thứ nhất với số thứ hai cộng với bình phương của số thứ hai. - Hiệu của hai hình vuông: Hiệu giữa bình phương của hai số bằng tổng của hai số đó nhân với hiệu của hai số đó.
- Lập phương của một tổng: Lập phương của tổng hai số bằng lập phương của số thứ nhất cộng ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai cộng ba lần tích của số thứ nhất nhân bình phương của số thứ hai cộng lập phương của thứ hai.
- Khối lập phương của một sự thay đổi: Lập phương của hiệu của hai số bằng lập phương của số thứ nhất trừ ba lần tích bình phương của số thứ nhất nhân với số thứ hai cộng ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương của số thứ hai trừ đi lập phương của số thứ hai.
- Tổng hai lập phương: Tổng hai lập phương của hai số bằng tổng của hai số đó nhân với bình phương còn thiếu của hiệu
- Sự khác biệt giữa hai khối: Hiệu của hai lập phương của hai số bằng hiệu của hai số đó nhân với bình phương còn thiếu của tổng hai số đó.
b. Hậu quả của bình đẳng
Ngoài ra, ta có các hằng số chẵn lẻ tiếp theo của bảy hằng số chẵn lẻ ở trên. Nó thường được dùng khi biến đổi lượng giác để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, v.v.
Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2
Hệ quả với hằng số chẵn lẻ 3 độ
hậu quả chung
3. Một số lưu ý về hằng đẳng thức bất đẳng thức
+ Việc biến đổi hằng đẳng thức chủ yếu là cách biến đổi từ tổng, đổi tích giữa các số, phải nắm vững kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử để vận dụng các hằng đẳng thức mới rõ ràng, đúng đắn.
+ Để hiểu rõ hơn bản chất của việc sử dụng hằng đẳng thức khi áp dụng vào bài toán, học sinh có thể chứng minh sự tồn tại hằng đẳng thức là đúng bằng phép biến đổi nghịch đảo, sử dụng các đẳng thức liên quan để chứng minh bài toán.
+ Trong khi vận dụng hằng đẳng thức trong phân số đại số, học sinh cần lưu ý sẽ có nhiều dạng vặn căn thức do tính chất của từng bài toán, nhưng bản chất vẫn là các căn thức trên, chỉ là biến đổi qua lại cho đúng. phép tính.
Ví dụ:
4. Mẹo ghi nhớ nhanh các hằng số chẵn lẻ
Nếu để ý, chúng ta có thể thấy các hằng chẵn lẻ 1 và 2, 4 và 5, 6 và 7 đều khá giống nhau, chỉ khác nhau về dấu nên điều cần lưu ý ở đây là phải viết nhớ dấu của chúng, để các bạn có thể ghi nhớ một cách chính xác và không nhầm lẫn.
Đối với các hằng đẳng thức 5 và 6, cần lưu ý rằng:
“Tổng các lập phương bằng tích của tổng hai số và bình phương còn thiếu của hiệu”
“Hiệu các lập phương bằng tích của hiệu hai số và bình phương còn thiếu của một tổng”
Ngoài ra, các bạn có thể sưu tầm thêm bài hát “Bảy Hằng Số Khó Quên” do tác giả “Nhật Anh” sáng tác trên nền nhạc của bài hát “In the End”. Tất nhiên, khi nghe bài hát này, học sinh có thể thư giãn và nhớ lại kiến thức một cách tự nhiên nhất mà không cảm thấy khô khan, rối rắm.
Tuy nhiên, tất cả những điều này chỉ là một phần nhỏ, quan trọng nhất là bạn cần phải hiểu bản chất của nó và không ngừng luyện tập, luyện tập và làm các bài tập khó thì bạn sẽ ghi nhớ nó một cách dễ dàng.
II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5* Trả lời:– Ta có: A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4- Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.⇒ (x – 1) 2 + 4 ≥ 4 hoặc A ≥ 4- Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, Dấu “=” xảy ra khi: x – 1 = 0 hoặc x = 1⇒ Kết luận Amin = 4 ⇔ x = 1Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcVí dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2* Trả lời:– Ta có: A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2- Vì (x ) – 2)2 ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)2 0 với mọi x⇔ 4 – (x – 2)2 4 [cộng 2 vế với 4]⇔ A ≤ 4 Dấu “=” xuất hiện khi: x – 2 = 0 hoặc x = 2⇒ Kết luận giá trị thuần của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thứcVí dụ: Tính giá trị của biểu thức: A = x2 – 4x + 4 tại x = -1* Câu trả lời.– Ta có: A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2- Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3 ) )2= 9⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9Dạng 4: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc biến Ví dụ: Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)* Câu trả lời.– Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.
Dạng 5: Chứng minh đẳng thức Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)* Trả lời:– Với phép toán này ta biến đổi VT = VP hay VT = A và VP = A- Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3= 6a2b + 2b3= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).⇒ Kết luận, nên:( a + b) – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)• Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức– Biến đổi bất phương trình về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng phép biến hình để đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.Ví dụ: Chứng minh rằng biểu thức B nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x, biết: B = (2-x)(x-4)-2* Trả lời: – Ta có: B = (2-x)(x-4) – 1 = 2x – 8 – x2 + 4x – 2 = -x2 + 6x – 9 – 1 = -(x2 – 6x + 9) – 1 = – ( x-3)2 – 1- Vì (x-3)2 ≥ 0 ⇔ -(x-3)2 ≤ 0 ⇒ -(x-3)2 – 1 ≤ -1
Dạng 7: Tìm giá trị cũVí dụ:Tìm giá trị đã biết của x: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0* Câu trả lời.x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0⇔ (x – 3)(x2 – 4) = 0⇔ (x – 3)(x – ) 2)(x + 2) = 0⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = -2⇒ Kết luận, nên giải: x = 3; x = 2; x = -2
Dạng 7: Phân tích đa thức
Ví dụ:Nhân tử của đa thức sau: A = x2 – 4x + 4 – y2* Trả lời:– Ta có: A = x2 – 4x + 4 – y2 [để ý x2 – 4x + 4 có dạng hằng đẳng thức]= (x2 – 4x + 4) – y2 [nhóm hạng tử]= (x – 2)2 – y2 [xuất hiện đẳng thức số A2 – B2]= (x – 2 – y )( x – 2 + y)⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)
III. BÀI TẬP VỀ TIÊU CHUẨN CHI PHÍ
Bài 1: tính toán nhanh
2. 29.9.30.1
4. 37,43
Bài 2: Đơn giản hóa và sau đó đánh giá biểu thức
bài 3 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên N thì biểu thức chia hết cho 4
Bài 4: Viết biểu thức sau dưới dạng
Bài 5. Viết biểu thức sau dưới dạng
Bài 6. Viết biểu thức sau dưới dạng
Bài 7. Viết biểu thức sau dưới dạng số nhiều
b..
Bài 8: Viết biểu thức sau dưới dạng số nhiều
b.
****Các bài toán phương trình nâng cao (có đáp án)
Bài 1. Đa thức 2x² – 5x + 3 đã cho. Viết đa thức trên dưới dạng đa thức của biến y với y = x + 1.
trả lời
Theo đề bài ta có: y = x + 1 => x = y – 1 .
A = 2x² – 5x + 3
= 2 (y – 1)² – 5(y – 1) + 3 = 2(y² – 2y + 1) – 5y + 5 + 3 = 2y² – 9y + 10
Bài 2. Tính nhanh kết quả của các biểu thức sau:
a) 127² + 146.127 + 73²
b) 98.28-(184 – 1)(184 + 1)
c) 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²
d) (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – (19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²)
trả lời
a) A = 127² + 146.127 + 73²
= 127² + 2,73.127 + 73²
= (127 + 73)²
= 200 mét vuông
= 40000.
b) B = 9 8 .2 8 – (18 4 – 1)(18 4 + 1)
= 188 – (188 – 1)
= 1
c) C = 100² – 99² + 98² – 97² + …+ 2² – 1²
= (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) +…+ (2 + 1)(2 – 1)
= 100 + 99 + 98 + 97 +… + 2 + 1
= 5050.
d) D = (20² + 18² + 16² +…+ 4² + 2²) – (19² + 17² + 15² +…+ 3² + 1²)
= (20² – 19²) + (18² – 17²) + (16² – 15²)+ …+ (4² – 3²) + (2² – 1²)
= (20 + 19) (20 – 19) + (18 + 17) (18 – 17) + (16 + 15) (16 – 15) + … + (4 + 3) (4 – 3) + (2 + 1) (2 – 1)
= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 +15 + … + 4 + 3 + 2 + 1
= 210
Bài 3. So sánh hai số dưới đây, số nào lớn hơn?
a) A = (2 + 1) (22 + 1) (24 + 1) (28 + 1) (216 + 1) và B = 232
b) A = 1989,1991 và B = 19902
câu trả lời gợi ý
a) Ta nhân cả hai vế của A với 2 – 1 ta được:
A = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)
Chúng tôi áp dụng đẳng thức ( a- b)(a + b) = a² – b² nhiều lần, chúng tôi nhận được:
A = 232 – 1.
=> Vậy A
b) Ta đặt 1990 = x => B = x²
Vậy A = (x – 1) (x + 1) = x² – 1
=> B > A là 1 .
Bài 4. Kiểm chứng:
a) a(a – 6) + 10 > 0.
b) (x – 3) (x – 5) + 4 > 0.
c) a² + a + 1 > 0.
trả lời
a) VT = a² – 6a + 10 = (a – 3)² + 1 1
=> VT > 0
b) VT = x² – 8x + 19 = (x – 4)² + 3 3
=> VT > 0
c) a² + a + 1 = a² + 2.a.½ + ¼ + ¾ = (a + ½ )² + ¾ ≥ ¾ >0.
Như vậy là các bạn vừa được học 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cùng hệ quả và các dạng toán thường gặp. Hi vọng bài viết đã cung cấp thêm cho bạn những thông tin hữu ích. Hay nhin nhiêu hơn kích thước chủ đề cũng trong liên kết này!
Đăng bởi: THPT Lê Hồng Phong
Thể loại: Giáo dục
Hy vọng thông qua bài viết 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và hệ quả cùng các dạng toán Cakhia TV trang web trực tiếp bóng đá miễn phí sẽ giúp ích được quý bạn đọc.
