Lý Thuyết, Công Thức Và Bài Tập (Có Đáp Án)

1. Định nghĩa phép đối xứng tâm

Phép đối xứng qua tâm được xác định như sau:

Cho điểm I, phép biến hình biến I trên chính nó, biến mọi điểm M trừ I thành M′ sao cho M′ đối xứng với M qua I (hay I là trung điểm, gọi là phép đối xứng tâm của I ). .

Tâm đối xứng được đánh dấu bằng I.

1.1 Ký hiệu

D$_{I}$ là kí hiệu cho phép đối xứng tâm I

1.2. Công thức

Từ định nghĩa của phép đối xứng tâm ta có thể rút ra công thức sau:

M’=D$_{I}(M)Mũi tên phải gạch trên{IM’} =-overline{IM}$

1.3. Biểu diễn ảnh qua phép đối xứng tâm

Nếu hình ℋ có dạng ℋ ‘ là một hình qua D$_{I}$ , thì ta cũng nói rằng ℋ ‘ đối xứng qua ℋ qua tâm I , hoặc ℋ và ℋ ‘ đối xứng với nhau qua I .

2. Tính chất phép đối xứng tâm

2.1.1 tài sản

Khi đó M’N’ = MN

$overline{M’N’} = đường trên{-MN}$

Ghi chú:

Nếu ba điểm M, N, P thẳng hàng theo cùng một thứ tự thì qua phép đối xứng tâm I biến lần lượt thành các điểm M’, N’, P’ cũng được sắp theo thứ tự đó.

2.2. 2. tài sản

• Giữ nguyên khoảng cách giữa hai điểm

• Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó

• Chuyển đổi một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đó

• Chuyển đổi một tam giác thành một tam giác bằng cách sử dụng tam giác ban đầu

• Biến một hình tròn thành một hình tròn khác có cùng bán kính

3. Biểu thức tọa độ đối xứng tâm

3.1. Biểu thức đối xứng tọa độ qua gốc tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x; y), gọi tọa độ điểm M'(x’; y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O, ta có:

D$_{O}$(M) = M’

Khi đó x’ = -x

y’ = -y

3.2. Biểu thức tọa độ cho mỗi phép đối xứng tâm

Gọi M'(x’; y’) là ảnh của M(x; y) trong mặt phẳng Oxy cho I(a; b), M(x; y), qua phép đối xứng tâm I ta có:

T$_{I}(M) =M’$

Vậy điểm I là trung điểm của MM’

Suy ra: tọa độ $I (a; b) = (frac{x + x’}{2}; frac{y + y’}{2})$

$Rightarrow a =frac{x + x’}{2}$

$b =frac{y + y’}{2})$

$Mũi tên phải 2a =x+x’$

$2b =y+y’$

Có nguồn gốc từ:

x’ = 2a – x ​​y’ = 2b – y

4. Tâm đối xứng của một hình Định nghĩa: Điểm O được gọi là tâm đối xứng của hình ℋ nếu tâm đối xứng O quay ℋ trên chính nó.

Ví dụ trong thực tế

Tâm đối xứng của một số hình phẳng

* Phương pháp tìm tâm đối xứng của một hình

Nếu hình đã cho là đa giác đều thì sử dụng tính chất: Một đa giác có tâm đối xứng O thì qua phép đối xứng tâm O mỗi đỉnh của nó phải biến thành một đỉnh của đa giác, mỗi cạnh của nó phải biến thành một cạnh của đa giác song song và bằng cạnh đó.

Nếu hình đã cho không phải là đa giác thì ta sẽ dùng định nghĩa.

5. Một số dạng bài tập về phép đối xứng tâm từ cơ bản đến nâng cao (có lời giải)

5.1. Dạng 1: Tìm ảnh của một điểm qua phép đối xứng tâm

Phương pháp: áp dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm

Gọi M'(x’; y’) là ảnh của M(x; y) qua phép đối xứng tâm

Nếu tâm đối xứng là gốc tọa độ O(0;0)

x’ = − x

y’ = − y

Nếu tâm đối xứng là gốc tọa độ I(a; b)

x’ = 2a − x

y’ = 2b − y

VD1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ảnh của điểm M(-2021; 2022) đến tâm đối xứng O(0; 0) là:

Một. M'(2021; 2022)

b. M'(2021; -2022)

c. M'(-2021; 2022)

đ. M'(-2021; -2022)

GIÁ

Qua phép đối xứng tâm O nên M'(x’, y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O.

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O như sau:

x’ = -x = 2021

y’ = -y = -2022

M'(2021; -2022)

Chọn câu trả lời KHÔNG

VD2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ảnh của điểm M(1; -6) qua phép đối xứng tâm I(-2; 5) là:

Một. M'(-5; 16)

b. M'(5; -16)

c. M'(-4; 3)

đ. M'(4; -3)

GIÁ

Bằng phép đối xứng tâm Giả sử điểm M'(x’, y’) là ảnh của M

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I như sau:

x’ = 2a – x

y’ = 2b – y

⇔ x’ = 2 . (-2) – 1

y’ = 2,5 – (-6)

⇔ x’ = -5

y’ = 16

$Rightarrow$ M'(-5; 16)

$Rightarrow$ Chọn câu trả lời A

5.2. Dạng 2: Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng tâm

Phương pháp: dựa vào tính chất đối xứng tâm sẽ biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

– Bước 1: Lấy hai điểm trên đoạn thẳng đó.

– Bước 2: Tìm ảnh qua phép đối xứng tâm của hai điểm đã lấy được ở bước 1.

– Bước 3: Từ hai điểm trên đoạn thẳng ta viết phương trình đoạn thẳng cần tìm.

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d trong mặt phẳng Oxy có phương trình:

x + 2y + 4 = 0. Dùng phép đối xứng tâm O(0,0) tìm ảnh của đường thẳng d

Một. x + y + 4 = 0

b. x + y – 4 = 0

c. x + 2y – 4 = 0

đ. 2x + 3y + 4 = 0

GIÁ

Ta có phương trình d là x + 2y + 4 = 0,

Lấy 2 điểm A(0; -2), B(-4; 0)

Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh qua phép đối xứng tâm O của A, B. Khi đó ta có:

$x_{A’} = -x_{A} = 0$

$y_{A’} = -y_{A} = 2$

$Rightarrow$ A'(0, 2)

Tương tự:

$x_{B’} = -x_{B} = 4$

$y_{B’} = -y_{B} = 0$

$Rightarrow$ B'(4, 0)

Gọi d’ là ảnh id qua phép đối xứng tâm O. Khi đó theo tính chất phép đối xứng tâm thì d’ sẽ đi qua hai điểm A’ và B’.

Suy ra rằng $overline{A’B’}$ là vectơ chỉ phương của d’

Ta có: $overline{A’B’} (4; -2) Thanh mũi tên phải{n} (1; 2)$

Phương trình của đường thẳng d’ là:

1 (x – 0) + 2 (y – 2) = 0

$Rightarrow$ x + 2y – 4 = 0

$Rightarrow$ Chọn câu trả lời

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình là

3x – 4y + 6 = 0, kết quả I(2; -4). Viết phương trình đường thẳng d’ biết d’ là ảnh qua phép đối xứng tâm I.

Một. 3x + 2y + 34 = 0

b. -3x + 2y + 34 = 0

c. 2x + 3y – 34 = 0

đ. -2x + 3y – 34 = 0

GIÁ

Ta có phương trình d là 3x – 2y + 6 = 0,

Lấy 2 điểm A(0; 3), B(-2; 0)

Dùng phép đối xứng tâm I, ta gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B. Khi đó biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I là:

$x_{A’}=2a – x_{A}$

$y_{A’} =2b – y_{A}$

⇔ $x_{A’}=2 . $2 – $0

$y_{A’}=2 . (-4) – $3

⇔ $x_{A’}=4$

$y_{A’}= -11$

$Rightarrow$ A'(4, -11)

Tương tự:

$x_{B’}=2a – x_{B}$

$y_{B’}=2b – y_{B}$

⇔ $x_{B’}=2 . 2 + 2 đô la

$y_{A’}=2 . (-4) – $0

⇔ $x_{A’}=6$

$y_{A’}= -8$

$Rightarrow$ B'(6, -8)

Dùng phép đối xứng tâm ta có d’ là ảnh của d. Khi đó d’ đi qua hai điểm A’ và B’.

Ta có: $overline{A’B’} (2; 3) Thanh mũi tên phải{n} (-3; 2)$

Phương trình của đường thẳng d’ là:

-3 (x – 4) + 2 (y + 11) = 0

$Rightarrow -3x + 2y + 34 = 0$

$Rightarrow$ Chọn câu trả lời KHÔNG

5.3. Dạng 3: Tìm hình của đường tròn qua phép đối xứng tâm

Phương pháp: dựa vào việc biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính của phép đối xứng tâm.

Bước 1: Tìm bán kính và tâm của đường tròn.

– Bước 2: Dùng phép đối xứng tâm để tìm ảnh của tâm đường tròn.

– Bước 3: Viết phương trình đường tròn có bán kính bằng bán kính của đường tròn bài toán và tâm vừa tìm được ở trên.

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C): $(x – 1)^{2} + (y+3)^{2} = $16 đến phép đối xứng tâm O(0; 0).

Một. $(x + 1)^{2} + (y – 3)^{2}=$16

b. $(x – 1)^{2} + (y + 3)^{2}=$16

c. $(x – 1)^{2} + (y + 3)^{2}=$9

đ. $(x + 1)^{2} + (y – 3)^{2}=$9

GIÁ

Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C).

Ta có phương trình (C): $(x – 1)^{2} + (y + 3)^{2}=16$

Ta kết luận: tọa độ I(1; -3), R = 4

Gọi tâm và bán kính của đường tròn (C’) lần lượt là I’ và R’.

Từ tính chất phép đối xứng tâm O ta có

R’ = R = 4

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O là:

x’ = – x = -1

y’ = – y = 3

$Rightarrow$ I'(-1; 3)

Phương trình đường tròn (C’) là:

$(x + 1)^{2} + (y – 3)^{2}=$16

$Rightarrow$ Chọn câu trả lời A

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): $x^{2} + y^{2} + 2x – 4y + 1=0$ điểm A(1; 2). Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A .

Một. $(x + 3)^{2} + (y + 2)^{2}=4$

b. $(x – 3)^{2} + (y + 2)^{2}=$4

c. $(x + 3)^{2} + (y – 2)^{2}=4$

đ. $(x – 3)^{2} + (y – 2)^{2}=$4

GIÁ

Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C).

Ta có phương trình (C):

$x^{2} + y^{2} + 2x – 4y + 1=0$

⇔ $(x^{2} + 2x +1) + (y^{2} – 4y + 4) + 1 – 1 – 4=0$

⇔ $(x + 1)^{2} + (y – 2)^{2}=$4

Ta kết luận: I(-1; 2) và R = 2

Gọi tâm của đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A có tâm và bán kính lần lượt là I’ và R’.

Chúng ta có:

R’ = R = 2

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm A là:

x’ = 2a – x

y’ = 2b – y

⇔ x’ = 2 . 1 + 1

y’ = 2. 2 – 2

x’ = 3

y’ = 2

$Rightarrow$ I'(3; 2)

Vậy phương trình đường tròn (C’) là:

$(x – 3)^{2} + (y – 2)^{2}=$4

$Rightarrow$ Chọn câu trả lời DỄ

Trên đây là toàn bộ nội dung bài tập và bài tập có lời giải chi tiết về phép đối xứng tâm. Hi vọng các em có thể tham khảo và áp dụng thật tốt bài học này để đạt điểm cao trong các kì thi sắp tới. Các em có thể đăng nhập ngay vào Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ với trung tâm hỗ trợ để chuẩn bị kiến ​​thức tốt nhất cho kỳ thi THPT Quốc gia!