Lý thuyết và bài tập về đạo hàm phân số

Để giúp các em củng cố lại kiến ​​thức và vận dụng giải bài tập một cách tốt nhất, bài viết dưới đây sẽ hệ thống hóa những lý thuyết quan trọng cần nhớ và hướng dẫn chi tiết giải bài tập đạo hàm phân số.

Lý thuyết đạo hàm của phân số

Đầu tiên, chúng ta cùng nhau lướt qua và tóm tắt một số kiến ​​thức quan trọng cần nhớ về đạo hàm phân số. Để việc giải các bài tập liên quan trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn.

1 – Đạo hàm là gì?

• Đạo hàm của hàm số thực chất là sự mô phỏng sự thay đổi của hàm số tại một điểm. đạo hàm phân số là một trong các công thức đạo hàm của hàm số.
• Ngoài ra, theo SGK lớp 11, đạo hàm được định nghĩa là tỉ số giữa số tăng của hàm số và số tăng của đối số tại một điểm x0 nào đó.
• Chiều thay đổi của một hàm số và độ lớn của sự thay đổi đó được biểu thị thông qua giá trị của đạo hàm của hàm số đó.
• Các công thức đạo hàm rất quan trọng trong hình học và vật lý. Không chỉ vậy, ngày nay các ứng dụng của đạo hàm cũng rất đa dạng và được sử dụng rộng rãi. Ngoài hình học và vật lý, chúng còn được tìm thấy trong đồng hồ đo tốc độ xe máy, đồng hồ bấm giờ bơi và chạy, ngành xây dựng và kinh tế.

2 – Hàm phân số là gì?

• Về mặt toán học, một hàm phân số là một hàm được biểu diễn dưới dạng tỷ số của hai hàm đa thức bất kỳ. Và chúng được viết là:

• trong đó P và Q là các đa thức đối với x và cần lưu ý rằng Q không thể là đa thức bằng 0.
• Tập xác định của một hàm phân số là tập hợp các điểm x tại đó chúng có mẫu số khác 0.
• Khi Q(x)=1 thì mọi đa thức đều là phân số.
• Biểu thức phân số với x không bắt buộc phải là một biến.
• Một phương trình phân số được định nghĩa là một phương trình trong đó hai biểu thức phân số sẽ bằng nhau.
• Các biểu thức phân số đó cũng phải tuân theo các quy tắc trong một phân số và phương trình phân số cũng có thể được giải bằng quy tắc một phần ba.

Hàm phân số.

đạo hàm phân số

Như chúng ta đã biết đạo hàm phân số là một trong những dạng toán học nổi tiếng về đạo hàm. Vì thế đạo hàm của phân số Đạo hàm phân số là gì và có những loại nào? Dưới đây chúng ta sẽ tìm hiểu như sau:

1 – Công thức đạo hàm phân số

Về công thức Đạo hàm phân số có 5 dạng công thức cần nhớ để các bạn làm bài tốt hơn. Cụ thể bạn có thể tham khảo bảng công thức như sau:

2 – Quy tắc tính đạo hàm của phân số

Chúng ta cần ghi nhớ các công thức và vận dụng chúng trong quá trình giải các bài tập về phân số. Nếu đề bài yêu cầu ta tính đạo hàm tại một điểm x0 cho trước thì ta tính đạo hàm của hàm số đó rồi chỉ việc thay x0 vào là được kết quả của bài toán.

Công thức đạo hàm phân số.

3 – Các ví dụ liên quan

NỘI DUNG: Áp dụng các công thức đã học và tính đạo hàm của phân số cho dưới đây:

Giải pháp: để làm bài toán này có thể làm ngay đạo hàm nhưng bài toán sẽ dài và phức tạp hơn. Vì vậy, bạn cần biến hóa và tiết giảm một chút sao cho tối giản nhất. Sau đó, tiếp tục với đạo hàm của phân số rút gọn. Giải pháp cho vấn đề này có thể được tìm thấy dưới đây:

Bài tập về đạo hàm phân số

Sau khi nắm được lý thuyết và các công thức quan trọng của bài học này. Chúng ta sẽ làm bài tập trong đạo hàm phân số để hiểu và hiểu bài tốt nhất có thể.

1 – Vấn đề 1

NỘI DUNG: Áp dụng các công thức đã học để tính đạo hàm của hàm phân số đã cho dưới đây:

Giải pháp: Trong bài toán đây là dạng toán đơn giản nhất về đạo hàm phân số. Vì bài toán đã ở dạng đơn giản nhất nên ta chỉ cần lấy đạo hàm phân số này theo các công thức đã cho ở trên. Sau đó lấy đạo hàm riêng của đa thức nhỏ rồi rút gọn đến mức thấp nhất là được. Dưới đây bạn có thể tham khảo cách giải quyết vấn đề này:

2 – Vấn đề 2

NỘI DUNG:Vận dụng các công thức đã học để tính đạo hàm của hàm phân số đã cho dưới đây:

Giải pháp: Trong bài toán này có đa thức bậc 2 nhưng không quá khó để làm. Vì bài toán đã ở dạng đơn giản nhất nên các em chỉ cần lấy đạo hàm theo các công thức đã học ở trên. Sau đó tiếp tục giảm giá trị của đạo hàm càng nhiều càng tốt. Dưới đây bạn có thể tham khảo lời giải chi tiết của bài toán này:

3 – Vấn đề 3

NỘI DUNG: Áp dụng các công thức đã học để tính đạo hàm của hàm phân số đã cho dưới đây:

Giải pháp: Ở bài toán này ta cũng thấy không rút gọn được nữa nên áp dụng các công thức đã học để tính đạo hàm của bài toán này là được. Dưới đây bạn có thể tham khảo lời giải chi tiết của bài toán này:

4 – Vấn đề 4

NỘI DUNG:Vận dụng các công thức đã học để tính đạo hàm của hàm phân số đã cho dưới đây:

Giải pháp: Ở bài toán này cách giải tương tự như các bài toán trên. Đầu tiên ta thấy bài toán đã ở mức cực tiểu tức là không thể giảm thêm được nữa. Tiếp theo ta tiến hành áp dụng các công thức đã học ở trên để suy ra bài toán. Dưới đây bạn có thể tham khảo lời giải chi tiết của bài toán này:

5 – Vấn đề 5

NỘI DUNG: Cho hàm phân thức sau và tính đạo hàm của hàm tại điểm x=0.

Giải pháp: Trong bài này ta thấy biểu thức không thể rút gọn được nữa. Do đó, ta tiến hành tính đạo hàm phân số trên theo công thức đã học. Sau đó, tiếp tục giảm phân số đạo hàm xuống mức thấp nhất. Cuối cùng, chỉ cần thay giá trị x=0 mà bài toán đưa ra để tính kết quả của bài toán. Cách giải quyết vấn đề này, bạn có thể tham khảo như sau:

Một số bài tập về đạo hàm phân số.

kết luận

đạo hàm phân số là một trong những dạng bài tập đạo hàm thường gặp. Dạng bài này chỉ có 5 công thức liên quan cần nhớ, tuy nhiên cũng cần nhớ các công thức đạo hàm cơ bản để thực hiện bài toán tốt hơn. Bên cạnh đó, các bạn cũng cần làm thêm các bài tập liên quan từ cơ bản đến nâng cao và ở các dạng bài khác nhau để có thể nhớ và biết cách vận dụng lý thuyết vào bài tập một cách tốt nhất.

Trên đây là các công thức kiến ​​thức quan trọng và hướng dẫn chi tiết thực hiện các bài tập đạo hàm phân số mà chúng tôi muốn gửi đến bạn. Mong rằng với những thông tin hữu ích được cung cấp trên đây có thể giúp các bạn củng cố lại kiến ​​thức đã học và biết cách vận dụng những kiến ​​thức này vào giải bài tập liên quan tốt nhất.